ベイズ問題の考え方（前編）

この問題を例に考える。
一応こっちに書き出してみる。細かい文言は修正しています。

　　仲の良い女性５人、男性３人の合わせて８人が旅をしている。夕刻に和風旅館に到着し、女性２人のグループが二つ、男性２人のグループが一つ、男性、女性１人づつのグループが一つの、合わせて四つのグループに分かれて四つの部屋に入った。なお、この時点では旅館の係員はどの人がどの部屋に入っているかは把握していないものとする。
　　一息ついた頃、旅館の係員が無作為に一つの部屋を選んでドアをノックしたところ、中から女性の声で「誰かが訪ねてきたようだけど、いま手が離せないのであなたが開けてあげて」と話しているのが聞こえた。このとき、部屋のドアを開けるのが男性である確率を求めよ。

まず大前提として、すべての確率の問題は、起こりうるすべてのパターンの数（教科書だと「場合の数」だっけ）を分母に、求めたい特定の事象が起こるパターンの数を分子にした、分数の形にすれば解ける。
こうして文章にするとややこしいが、単純な話だ。
サイコロを例にする。

サイコロを一回振って１が出る確率は？

サイコロを一回振ったときに起こりうるすべてのパターンは

１が出る
２が出る
３が出る
４が出る
５が出る
６が出る

この６パターンなので、分母は６。
その中で１は「１が出る」の１パターン。分子は１。
答えは 1/6 。
小学校の算数レベルの基礎だが、これはベイズ問題でも揺らがない大原則なので、しっかり頭に刻んでもらいたい。

さて、件の問題に移る。
判りやすく図にしてみよう。
八人の男女が、二人で一つのペアを作って、四つの部屋に分かれて入ったということなので

部屋 A	女, 女
部屋 B	女, 女
部屋 C	女, 男
部屋 D	男, 男

という構成だろう。
まず女性の声が聞こえたので、男性二人の部屋 D の可能性は除外する。
残りの女性５人を E, F, G, H, I, 男性を Z とする。
すなわち、先の図を書き換えるとこうだ。

部屋 A	E, F
部屋 B	G, H
部屋 C	I, Z

ここで、女性が同室者に声をかける全パターンを数え上げる。

E → F
F → E
G → H
H → G
I → Z

この５パターンが起こりうる全パターンなので分母は５。
その中で声をかけた相手が男性なのは I → Z の一つ。分子は１。
答えは 1/5 。

難しく考えなくても、サイコロのときと同じ単純な考え方で一歩一歩、思考を進めるだけで解けるのだ。

さて、この問題では「答えは 1/5 ではない。1/3 だ」と主張する人がよく出てくる。
ブックマークコメント欄にも納得できないと言ってる人がいた。
そういう人にも納得してもらえるだろう議論を考えたので……

と続けようと思ったけど、話が長くなったので、続きは次回以降の記事で！