きょうだいベイズ問題（４）

問題（１）

２人きょうだいの子供のうち、１人が男の子の場合、もう１人が女の子である確率はいくらか？

そもそも二人きょうだいの性別の組み合わせの全パターンはどういうものか。表にする。

表（１）

j	k	l	m
older	older	older	older
男	男	女	女
男	女	男	女
younger	younger	younger	younger
1/4	1/4	1/4	1/4

第一子に男性が生まれる確率と女性が生まれる確率はそれぞれ 1/2 。
第一子が男性、第二子も男性の確率は 1/2 * 1/2 = 1/4 。
他の項目も同じ。なので、j, k, l, m それぞれが成立する確率は等しい。

で、私は問題（１）をどう解釈したか。
文章の中の「１人が」「もう１人が」の並びから順番を想定してしまって、それが足枷になっていたんですね。
がっちり頭にフレームを付けられていた。

つまり、こういう状況を想像していた。

問題（６）

世界中の２人きょうだいのペアを一つの広場に集め、きょうだい同士で手を繋いでもらう。
目隠しをしたあなたが、その広場からランダムに一人の人間を選んだ。
その人を見たゲームマスターの Charley は「この人は男性です」とあなたにヒントを伝えた。
このとき、彼が手を繋いでいる相手が女性である確率はいくらか？

解答する。
それぞれの人に名前を付けて表にしてみる。

j	k	l	m
older	older	older	older
男(N)	男(O)	女(P)	女(Q)
男(R)	女(S)	男(T)	女(U)
younger	younger	younger	younger

問題の条件から、どちらも女性のペアである m は除外できる。
全パターンは N→R, R→N, O→S, T→P だから４パターン。
そのうち相手が女性なのは O→S と T→P の２パターン。
2/4 = 1/2
ゆえに 1/2 。

この問題と前のエントリの次の問題を混同していたんですね。

問題（５）

世界中の２人きょうだいのペアを一つの広場に集め、きょうだい同士で手を繋いでもらう。
目隠しをしたあなたが、その広場からランダムに一つペアを選んだ。
そのペアを見たゲームマスターの Charley は「このペアは（女, 女）のペアではありません」とあなたにヒントを伝えた。
このとき、このペアが（男, 男）のペアではない確率はいくらか？

解答する。

j	k	l	m
older	older	older	older
男	男	女	女
男	女	男	女
younger	younger	younger	younger

これが全パターン。
問題の条件から m は除外できる。
残る三つの全パターンのうち、（男, 男）ではないパターンは k と l の２つ。
ゆえに 2/3 。

さらに、以前問題（６）の状況を視覚的に判りやすくしようと別の表を書いた。
問題文の「一人が男の子の場合」を ● で表現する。
こういうものだ。

表（２）

u	v	w	x	y	z
older	older	older	older	older	older
男●	男	男●	女	女	女
男	男●	女	男●	女	女
younger	younger	younger	younger	younger	younger

これは問題（６）専用の表であり、現実に起こりうる二人きょうだいの性別組み合わせの全パターンを表わしたものではない。
この表（２）と表（１）を混同してしまった。
これで極度の混乱に陥ってしまったんですね。

……というわけで最初のエントリの主張は撤回します。
2/3 という答えも判りました。
修正は、やるなら全面改稿が必要なレベルで意味がないので、やりません。
赤っ恥エントリとして残しておきます。

お付き合いしていただいた皆さん、ありがとうございました。