きょうだいベイズ問題（３）

あー、わかった。理解した。
2/3 派の言い分を理解した。今度こそ完全に理解した。

例題を出す。

問題（３）

Alpha さんはコイン投げが大好きです。最近は一枚のコインを三回投げたものを一つのグループにして記録しています。
Alpha さんは順番のない（表, 表, 裏）という組み合わせに神妙な美を見出し、それを Bravo と名付けました。
１グループの単位を「ターン」、１グループの中の第一投, 第二投, 第三投をそれぞれ c, d, e とする。
いま Alpha さんは 100 ターン目のコイン投げを終えました。
101 ターン目のコイン投げで、二回表が出た場合、残りの一回で裏が出て、このグループが Bravo になる確率はいくらでしょう？

二通りの解釈がある。それぞれを F 解釈, G 解釈とする。
F 解釈は最後のセンテンスをこう解釈する。

いま Alpha さんは 101 ターン目のコイン投げを実際に始めて、二回（すなわち c と d ）で表が出た。
残りの一回で裏が出て、このグループが Bravo になる確率はいくらでしょう？

解答してみよう。
このコイン投げで起こりうる全パターンはこれ。

c	d	e
表	表	表	s
表	表	裏	t
表	裏	表	u
表	裏	裏	v
裏	表	表	w
裏	表	裏	x
裏	裏	表	y
裏	裏	裏	z

問題の条件から u から z は除外できる。
残りの全パターンは s と t の２パターン。
そのうち e が裏なのは t の１パターン。
ゆえに 1/2 。

G 解釈は最後のセンテンスをこう解釈する。

Alpha さんは 100 ターン目のコイン投げを終えた後、コインにはまったく触らず、架空の世界のコイン投げを想像している。
c, d, e の順番に関係なく表が二回出ている想像世界の中で、残りの一回で裏が出て、このグループが Bravo になる確率はいくらでしょう？

もう一度表を貼る。

c	d	e
表	表	表	s
表	表	裏	t
表	裏	表	u
表	裏	裏	v
裏	表	表	w
裏	表	裏	x
裏	裏	表	y
裏	裏	裏	z

これが全パターン。
この中で表が２回以上出ているのは、s と t と u と w の４パターン。
そのうち残りの一回が裏なのは、t と u と w の３パターン。
ゆえに 3/4 。

面倒だから細かい論証は省くが、F 解釈がきょうだいベイズ問題の 1/2 派に、G 解釈が 2/3 派に対応する。

ということはこの G 解釈をきょうだいベイズ問題に適応すればいいわけだ。
そういうわけなんだけど、正面から攻められなかったので、まず問題（２）を答えが 2/3 になる形に改変したい。

問題（４）

大きさも形も同じ、金貨と銀貨を一枚づつ、合計２枚用意します。
あなたは目隠しされ、テーブルの前の椅子に座っています。
ゲームマスターの Charley はこの２枚のコインを同時にテーブルに投げ、結果を見て「この２枚のコインは（裏, 裏）の状態ではない」というヒントをあなたに伝えました。
このとき２枚のコインが（表, 表）の状態ではない確率はいくらか？

全パターンを表にするとこう。

q	r	s	t
金貨	金貨	金貨	金貨
表	表	裏	裏
表	裏	表	裏
銀貨	銀貨	銀貨	銀貨

問題の条件から t は除外できる。
残りの全パターンは q と r と s の３パターン。
そのうち（表, 表）ではないのは、r と s の２パターン。
ゆえに 2/3 。

これを足掛かりに最初の問題を、答えが 2/3 になるような明快な文章に改変したい。

問題（５）

世界中の２人きょうだいのペアを一つの広場に集め、きょうだい同士で手を繋いでもらう。
目隠しをしたあなたが、その広場からランダムに一つペアを選んだ。
そのペアを見たゲームマスターの Charley は「このペアは（女, 女）のペアではありません」とあなたにヒントを伝えた。
このとき、このペアが（男, 男）のペアではない確率はいくらか？

表にするとこうだ。

j	k	l	m
older	older	older	older
男	男	女	女
男	女	男	女
younger	younger	younger	younger

問題の条件からどちらも女性のペアである m は除外できる。
全パターンは j と k と l の３パターン。
そのうち（男, 男）のペアではないパターンは k と l の２パターン。
ゆえに 2/3 。

こういうことですよね！