和風旅館問題の拡張（１）

もともと別の問題を書きたかったのだが、行き掛けの駄賃で続ける。
問題再掲。

　　仲の良い女性５人、男性３人の合わせて８人が旅をしている。夕刻に和風旅館に到着し、女性２人のグループが二つ、男性２人のグループが一つ、男性、女性１人づつのグループが一つの、合わせて四つのグループに分かれて四つの部屋に入った。なお、この時点では旅館の係員はどの人がどの部屋に入っているかは把握していないものとする。
　　一息ついた頃、旅館の係員が無作為に一つの部屋を選んでドアをノックしたところ、中から女性の声で「誰かが訪ねてきたようだけど、いま手が離せないのであなたが開けてあげて」と話しているのが聞こえた。このとき、部屋のドアを開けるのが男性である確率を求めよ。

答えは 1/5 。解説は省く。

これの部屋の収容人数を大きくする改変問題を考える。
まず三人部屋のパターン。

　　仲の良い女性８人、男性４人の合わせて１２人が旅をしている。夕刻に和風旅館に到着し、女性３人のグループが二つ、男性３人のグループが一つ、男性１人、女性２人のグループが一つの、合わせて四つのグループに分かれて四つの部屋に入った。なお、この時点では旅館の係員はどの人がどの部屋に入っているかは把握していないものとする。
　　一息ついた頃、旅館の係員が無作為に一つの部屋を選んでドアをノックしたところ、中から女性の声で「誰かが訪ねてきたようだけど、いま手が離せないのであなたが開けてあげて」と話しているのが聞こえた。このとき、部屋のドアを開けるのが男性である確率を求めよ。

図にするとこう。

部屋 A	女, 女, 女
部屋 B	女, 女, 女
部屋 C	女(E), 女(F), 男(Z)
部屋 D	男, 男, 男

まず女性の声が聞こえたので、男性３人の部屋 D の可能性は除外する。
次に、女性が同室者に声を掛ける全パターンを列挙する。
部屋 A は３人の女性が他の２人に声を掛けるので、3 * 2 の６パターン。
部屋 B は A とまったく同じ。６パターン。
部屋 C は２人の女性が他の２人に声を掛けるので 2 * 2 の４パターン。
足し合わせて１６パターン。
そのうち相手が男性なのは、女(E) が男(Z) に声を掛けるパターンと、女(F) が男(Z) に声を掛けるパターンの２パターン。
2/16 = 1/8
答えは 1/8 。

次は四人部屋。

　　仲の良い女性１１人、男性５人の合わせて１６人が旅をしている。夕刻に和風旅館に到着し、女性４人のグループが二つ、男性４人のグループが一つ、男性１人、女性３人のグループが一つの、合わせて四つのグループに分かれて四つの部屋に入った。なお、この時点では旅館の係員はどの人がどの部屋に入っているかは把握していないものとする。
　　一息ついた頃、旅館の係員が無作為に一つの部屋を選んでドアをノックしたところ、中から女性の声で「誰かが訪ねてきたようだけど、いま手が離せないのであなたが開けてあげて」と話しているのが聞こえた。このとき、部屋のドアを開けるのが男性である確率を求めよ。

図にするとこう。

部屋 A	女, 女, 女, 女
部屋 B	女, 女, 女, 女
部屋 C	女, 女, 女, 男(Z)
部屋 D	男, 男, 男, 男

一般化できないか考える。
部屋の収容人数を n とする。
まず女性の声が聞こえたので、全員男性の部屋 D の可能性は除外する。
次に、女性が同室者に声を掛ける全パターンを列挙する。
部屋 A は n 人の女性がそれぞれ他の n-1 人に声を掛けるので n(n-1) パターン。
部屋 B は A とまったく同じ。n(n-1) パターン。
部屋 C は n-1 人の女性がそれぞれ他の n-1 人に声を掛けるので (n-1)^2 パターン。
足し合わせると 2n(n-1) + (n-1)^2 パターン。
そのうち相手が男性なのは、部屋 C の女性 n-1 人がそれぞれ男(Z) に声を掛ける１パターンづつなので、(n-1) * 1 パターン。すなわち n-1 パターン。
すべてのパターンのうち相手が男性のパターンは
n-1 / 2n(n-1) + (n-1)^2
n-1 を x とすると
x / 2nx + x^2
= x / x(2n + x)
= 1 / 2n + x
x を n-1 に戻すと
= 1 / 2n + n-1
= 1 / 3n-1
単純な公式が得られた（！）
これを四人部屋問題に適用すると、
1 / 3 * 4 - 1
答えは 1/11 。

次は五人部屋問題。

　　仲の良い女性１４人、男性６人の合わせて２０人が旅をしている。夕刻に和風旅館に到着し、女性５人のグループが二つ、男性５人のグループが一つ、男性１人、女性４人のグループが一つの、合わせて四つのグループに分かれて四つの部屋に入った。なお、この時点では旅館の係員はどの人がどの部屋に入っているかは把握していないものとする。
　　一息ついた頃、旅館の係員が無作為に一つの部屋を選んでドアをノックしたところ、中から女性の声で「誰かが訪ねてきたようだけど、いま手が離せないのであなたが開けてあげて」と話しているのが聞こえた。このとき、部屋のドアを開けるのが男性である確率を求めよ。

公式は 1 / 3n-1 だった（ n は部屋の収容人数）
適用する。
1 / 3 * 5 - 1
= 1/14
Q.E.D.

同じ要領で六人部屋問題。

　　仲の良い女性１７人、男性７人の合わせて２４人が旅をしている。夕刻に和風旅館に到着し、女性６人のグループが二つ、男性６人のグループが一つ、男性１人、女性５人のグループが一つの、合わせて四つのグループに分かれて四つの部屋に入った。なお、この時点では旅館の係員はどの人がどの部屋に入っているかは把握していないものとする。
　　一息ついた頃、旅館の係員が無作為に一つの部屋を選んでドアをノックしたところ、中から女性の声で「誰かが訪ねてきたようだけど、いま手が離せないのであなたが開けてあげて」と話しているのが聞こえた。このとき、部屋のドアを開けるのが男性である確率を求めよ。

答えは 1/17 。

画期的な公式じゃないか！　大発見だ！！
……と二十分くらい浮かれていたのだが、答えと問題の文章をよく見比べてほしい。
判りやすいようにそれぞれの問題の冒頭と答えを並べてみよう。

二人部屋問題。

　　仲の良い女性５人、男性３人の合わせて８人が旅をしている。

答えは 1/5 。

三人部屋問題。

　　仲の良い女性８人、男性４人の合わせて１２人が旅をしている。

答えは 1/8 。

四人部屋問題。

　　仲の良い女性１１人、男性５人の合わせて１６人が旅をしている。

答えは 1/11 。

五人部屋問題。

　　仲の良い女性１４人、男性６人の合わせて２０人が旅をしている。

答えは 1/14 。

六人部屋問題。

　　仲の良い女性１７人、男性７人の合わせて２４人が旅をしている。

答えは 1/17 。

お判りいただけただろうか。
なんのことはない。
答えは
1 / （問題文の女性の人数）
になるのだ！！

……これでもまだ話は終わっていないので、記事を分割する。続きます。